Fv формула

Дисконтирование – это средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени или прием приведения стоимостного показателя к заданному моменту времени. Величина , определенная дисконтированием, называется современной или приведенной величиной.

По виду процентной ставки различают 2 вида дисконтирования.

  1. Математическое дисконтирование – это формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды по процентной ставке, т.е. необходимо определить по.

Из формулы (1): .

Из формулы (2): .

В полученных формулах иявляются дисконтными множителями, а- дисконт суммы.

  1. Банковское дисконтирование (коммерческий учет, авансовый расчет, учет) применяется чаще всего при учете векселей. Заключается для владельца ценной бумаги в досрочной ее реализации, для банка – в приобретении по цене ниже номинала и определении ее стоимости на момент досрочной реализации. Производится по учетной ставке .

Задача: по определить.

, (3)

где — дисконтный множитель,

— дисконт.

Если число лет дробное, то

. (4)

Задача дисконтирования по учетной ставке является прямой, а задача наращивания по этой ставке – обратной. Определим наращенную сумму по учетной ставке из формул (3), (4):

Определение периода начисления и величины процентной ставки для простых процентов

Формулы (1), (2), (3), (4) являются исходными для определения величины процентной ставки и срока ссуды.

  • по ставке процентов:

; .

; .

  • по учетной ставке:

; .

; .

Сложные проценты

Начисление сложных процентов используется в тех случаях, если речь идет о средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях при постоянно увеличивающейся базе. Такой процесс называется капитализацией процентов.

Ситуация 1: периоды определены в годах.

, (5)

где — множитель наращения,

Ситуация 2: задана годовая ставка, а срок операции выражен в днях или в месяцах.

Для ряда операций в такой ситуации некоторые банки начисляют проценты только за целое число периодов. Чаще учитывается полный срок с использованием одного из двух методов.

  1. Общий метод:

  1. Смешанный метод:

,

где — целая часть дробного срока,

— его дробная часть.

Таким образом, за целое число периодов происходит начисление сложных процентов, за дробную часть – простых.

Ситуация 3: проценты капитализируются несколько раз в году, даже ежедневно.

При этом можно брать формулу (5) :

На практике обычно фиксируется

— годовая,номинальная ставка процентов;

— число периодов начисления в году.

Тогда

,

где — число лет.

В договорах часто заменяют номинальную ставку при- разовом начислении на годовую ставку сложных процентов, дающую тот же результат. Такая ставка называетсяэффективной.

Определим эффективную ставку через номинальную из равенства:

При решении обратной задачи имеем:

Ситуация 4: переменная ставка сложных процентов:

Существует взаимосвязь между первоначальной инвестицией (PV), которая приносит доход по процентной ставке r за период, и будущей стоимостью (FV) этой инвестиции, которая будет получена через N лет или периодов.

Следующий пример иллюстрирует эту концепцию FV.

Предположим, вы вкладываете $100 (PV = 100) на депозитный банковский счет, который приносит доход 5% в год.

В конце 1 года вы получите $100 плюс проценты, рассчитываемые как 0,05 * 100 = $5, что в общей сложности составляет $105.

Чтобы формализовать этот пример расчета FV за 1 период, мы определяем следующие термины:

Для N = 1 формула для расчета будущей стоимости PV будет такой:

FV1 = PV * (1 + r) (формула 1).

В этом примере мы вычисляем будущую стоимость через 1 год от текущей даты:

FV1 = $100 * (1.05) = $105.

Теперь предположим, что вы решили инвестировать первоначальные $100 на 2 года с учетом суммы процентов, начисляющихся на ваш счет ежегодно (т.е. при ежегодном начислении сложных процентов).

Обратите внимание, что проценты в размере $5,25, полученные за 2 год, составляют 5% от суммы, оставшейся на банковском счете на начало 2 года.

Еще один способ понять этот пример — отметить, что сумма, вложенная в начале 2-го года, состоит из первоначальной суммы в $100 плюс проценты $5, заработанные в течение 1-го года. В течение 2-го года первоначальная сумма вклада снова приносит проценты, а также проценты от процентов, которые были заработаны за 1-й год.

В приведенной ниже таблице вы более наглядно можете увидеть, как растут первоначальные инвестиции:

Процентный доход в размере $5, полученный за каждый период от первоначальных инвестиций в размере $100, известен как простой процент (англ. ‘simple interest’): процентная ставка, умноженная на основную сумму.

Основная сумма (англ. ‘principal’) — это сумма первоначально вложенных средств.

В течение двухлетнего периода вы получаете простые проценты в размере $10. Дополнительные $0,25, которые у вас образовались в конце 2 года, — это проценты, начисленные на сумму процентов в $5, которую вы заработали за 1 год и реинвестировали.

Проценты, полученные по процентам в этом примере, дают представление о явлении, которое известно как компаундинг или наращение или капитализация процентов или просто начисление сложного процента (англ. ‘compounding’).

Сложный процент, полученный от реинвестирования процентов, обеспечивает сильный эффект наращения инвестиций, потому что при заданной процентной ставке сумма процентов растет в каждом периоде.

Эффект наращения процентов усиливается с ростом величины процентной ставки. Например, $100, вложенные сегодня, стоили бы около $13 150 через 100 лет при начислении сложного процента по ставке 5%, но они также стоили бы более $20 млн. за тот же период при ставке 13%.

Чтобы проверить это, нам нужна общая формула, позволяющая рассчитать сложный процент для любого количества периодов. Следующая общая формула связывает текущую стоимость первоначальных инвестиций с их будущей стоимостью через N периодов:

FVN = PV * (1 + r)N, (формула 2)

где

  • r — процентная ставка за период, а
  • N — количество периодов наращения процентов.

В примере с банком расчет будет таким:

FV2 = $100 * (1 + 0,05) 2 = $110,25.

В примере с инвестициями по ставке 13%:

FV100 = $100 * (1.13) 100 = $20 316 287.42.

Наиболее важным моментом, о котором следует помнить при использовании формулы будущей стоимости денежного потока FV, является то, что процентная ставка r и количество периодов наращения N должны соответствовать общему временному периоду. То есть, обе эти переменные должны быть определены в одних и тех же единицах времени.

Например, если N указана в месяцах, тогда r должна быть 1-месячной процентной ставкой.

Временная линия помогает нам отслеживать соответствие единиц времени процентной ставки и периодов. На графике временной линии мы используем знак t, чтобы отметить момент начала / окончания периода. Он также обозначает номер (индекс) определенного периода.

Таким образом, текущая стоимость PV представляет собой сумму, которую можно инвестировать в текущую дату с номером t = 0. Мы можем ссылаться на момент окончания инвестиционного периода (срок возврата средств) как на t = N.

Временная линия на рисунке ниже показывает эту связь.

Связь между первоначальными инвестициями PV и их будущей стоимостью FV.

На графике ниже первоначальные инвестиции PV отражены в периоде t = 0. Используя формулу (2), мы перемещаем текущее значение PV вперед, к периоду t = N, с помощью коэффициента (1 + r)N.

Этот коэффициент называется фактором будущей стоимости (англ. ‘future value factor’).

Обозначим будущую стоимость на временной линии как FV и расположим ее в точке t = N. Предположим, что будущее значение должно быть получено ровно через 10 периодов от текущей даты (N = 10).

Текущая стоимость PV и будущая стоимость FV разделены во времени через коэффициент (1 + r)10.

Тот факт, что текущая стоимость и будущая стоимость разделены во времени, имеет важные последствия:

  • Мы можем добавлять суммы денег только в том случае, если они индексируются в тот же момент времени.
  • При заданной процентной ставке r, будущая стоимость FV увеличивается с ростом количества периодов N.
  • Для данного количества периодов N, будущая стоимость FV увеличивается с ростом процентной ставки r.

Чтобы лучше понять эти концепции, рассмотрим три примера, иллюстрирующих применение формулы будущей стоимости.

Пример (1) расчета будущей стоимости FV с реинвестированием процентов по той же процентной ставке.

Допустим, вы — счастливый победитель лотереи с призом в размере $5 млн. после уплаты налогов. Вы инвестируете свой выигрыш в 5-летний депозитный сертификат (CD) в местном банке. CD обещает ежегодную выплату по годовой процентной ставке 7%.

Это банк также позволяет реинвестировать проценты по той же процентной ставке в течение срока действия депозитного сертификата.

Какую сумму вы заработаете через 5 лет, если будете реинвестировать начисленные проценты по ставке 7% в течение пяти лет?

Решение:

Вычислим будущую стоимость инвестиций FV, используя в формуле следующие значения в:

PV = $5,000,000
r = 7% = 0.07
N = 5

FVN = PV * (1 + r)N
= $5,000,000 * (1.07)5
= $5,000,000 * (1.402552)
= $7,012,758.65

По истечении 5 лет у вас будет $7,012,758.65.

Обратите внимание, что фактор будущей стоимости округлен до шести десятичных знаков после нуля, но расчет может фактически отражать большую точность.

Например, фактор будущей стоимости в примере 1.402552 был округлен от 1.40255173, но расчет фактически выполняется (калькулятором или электронной таблицей) с фактором более 8 десятичных знаков после нуля.

Пример (2) расчета будущей стоимости FV без реинвестирования процентов.

Финансовая организация предлагает вам следующие условия: за инвестиции в размере ¥2 500 000 компания обещает выплатить вам единовременную сумму через 6 лет по годовой процентной ставке 8%.

Какова будет будущая стоимость инвестиций?

Решение:

Используйте следующие данные в формуле 2, чтобы найти будущую стоимость FV:

PV = ¥2,500,000
r = 8% = 0.08
N = 6

FVN = PV * (1 + r)N
= ¥2,500,000 * (1.08)6
= ¥2,500,000 * (1.586874)
= ¥3,967,186

Через 6 лет вы получите ¥3,967,186.

Наш третий пример — более сложная задача расчета FV, которая иллюстрирует важность отслеживания фактических календарных сроков.

Пример (3) расчета будущей стоимости с отсроченной единовременной инвестицией.

Менеджер пенсионного фонда ожидает, что его корпоративный клиент внесет $10 млн. через 5 лет от текущей даты. Норма прибыли активов фонда оценивается в 9% годовых.

Менеджер пенсионного фонда хочет рассчитать будущую стоимость этого взноса через 15 лет от текущей даты, то есть на дату, когда средства будут распределены пенсионерам.

Какой будет будущая стоимость?

Решение:

При индексе периода t = 5 мы можем рассчитать будущую стоимость вклада, используя следующие данные в формуле 2:

PV = $10,000,000
r = 9% = 0.09
N = 10

FVN = PV * (1 + r)N
= $10,000,000 * (1.09)10
= $10,000,000 * (2.367364)
= $23,673,636.75

Эта задача очень похожа на предыдущие две, но есть одно важное отличие: временная линия инвестиций.

С текущей даты (t = 0) будущая стоимость через 15 лет составит $23 673 636,75.

Хотя будущая стоимость FV соответствует 10-летнему сроку начисления процентов, первоначальная стоимость в $10 млн. будет получена только через 5 лет от текущей даты.

Будущая стоимость (FV) при первоначальной инвестиции t ≠ 0.

Как показано на графике выше, первоначальные инвестиции в размере $10 млн. должны быть осуществлены через 5 лет, поэтому эта сумма индексируется как t = 5 и отображается на временной линии в соответствующей точке.

Будущая стоимость инвестиций FV через 10 лет индексируется как t = 15, то есть 10 + 5.

Временные линии, подобные приведенной выше, могут быть чрезвычайно полезными при решении более сложных задач, особенно тех, которые связаны с несколькими потоками денежных средств.

Предположим, что менеджер пенсионного фонда также должен получить сегодня от корпоративного клиента $6,499,313,86.

Сколько будет стоить эта сумма через 5 лет?

Сколько она будет стоить через 15 лет?

PV = $6,499,313.86
r = 9% = 0.09
N = 5

FVN = PV * (1 + r)N
= $6,499,313.86 * (1.09)5
= $6,499,313.86 * (1.538624)
= $10,000,000 через 5 лет.

А также:

PV = $6,499,313.86
r = 9% = 0.09
N = 15

FVN = PV * (1 + r)N
= $6,499,313.86 * (1.09)15
= $6,499,313.86 * (3.642482)
= $23,673,636.74 через 15 лет.

Частота начисления процентов.

Рассмотрим инвестиции, для которых проценты выплачиваются более одного раза в год, т.е. инвестиции с разной частотой начисления процентов (англ. ‘compounding frequency’).

Например, многие банки предлагают ежемесячную процентную ставку, которая начисляется 12 раз в год. По такому вкладу банки начисляют проценты на проценты каждый месяц.

Вместо того, чтобы указывать периодическую ежемесячную процентную ставку, финансовые учреждения часто ссылаются на годовую процентную ставку, которую мы называем заявленной годовой процентной ставкой (англ. ‘stated annual interest rate’) или котируемой процентной ставкой (англ. ‘quoted interest rate’).

Заявленная годовая процентная ставка обозначается в формулах как rS. Заявленная годовая процентная ставка равна месячной процентной ставке, умноженной на 12.

Например, ваш банк может заявить, что за определенный депозит он платит 8% ежемесячно. В этом случае месячная процентная ставка составляет 0,08 / 12 = 0,0067 или 0,67%.

Эта ставка является сугубо ориентировочным значением, поскольку (1 + 0,0067) 12 = 1,083, а не 1.08. Значение (1 + rS) не является фактором будущей стоимости для расчета процентов за период меньше 1 года.

Формула будущей стоимости может быть выражена в виде более чем одного периода составления отчетности в год.

FVN = PV * (1 + rS / m) mN (формула 3),

где

  • rS — заявленная годовая процентная ставка,
  • m — количество составляющих периодов года,
  • а N обозначает количество лет.

Обратите внимание на совместимость между заявленной процентной ставкой, периодической ставкой rS / m и количеством периодов начисления mN.

Периодическая ставка (англ. ‘periodic rate’) rs/m представляет собой заявленную годовую процентную ставку, деленную на количество периодов начисления в году.

Общее количество периодов начисления mN, представляет собой количество периодов начисления за 1 год, умноженное на количество лет.

Периодическая ставка rS / m и количество периодов начисления mN должны быть совместимыми.

Пример (4) расчета будущей стоимости FV с ежеквартальным начислением процентов.

Продолжая пример с депозитным сертификатом, предположим, что ваш банк предлагает вам депозит с 2-летним сроком. Заявленная годовая процентная ставка в размере 8% начисляется ежеквартально, а также есть возможность реинвестирования процентов по той же процентной ставке. Вы решили вложить $10 000.

Сколько будет стоить депозит к моменту его закрытия?

Решение:

Вычислим будущую стоимость с помощью формулы (3) следующим образом:

PV = $10,000
rS = 8% = 0.08
m = 4
rS / m = 0.08/4 = 0.02
N = 2
mN = 4 * (2) = 8 периодов начисления

FVN = PV * (1 + rS / m)mN
=$10,000 * (1.02)8
= $10,000 * (1.171659)
= $11,716.59

К моменту закрытия депозит будет стоить $11,716.59.

Формула 3 не отличается от формулы 2. Просто имейте в виду, что в ней используется периодическая процентная ставка, а экспонента — это общее количество периодов начисления.

Пример (5) расчета будущей стоимости FV с ежемесячным начислением процентов.

Банк предлагает вклад под 6% с ежемесячной выплатой начислений. Вы решили инвестировать $1 млн. на 1 год.

Какова будущая стоимость ваших инвестиций, если процентные платежи реинвестируются под 6%?

Решение:

Используя формулу 3, найдем будущую стоимость инвестиции следующим образом:

PV = $1,000,000
rS = 6% = 0.06
m = 12
rS / m = 0.06/12 = 0.0050
N = 1
mN = 12 * (1) = 12 периодов начисления

FVN = PV * (1 + rS / m)mN
= $1,000,000 * (1.005)12
= $1,000,000 * (1.061678)
= $1,061,677.81

Если бы вам выплачивали 6% с годовым начислением, будущая стоимость составляла бы всего 1 000 000 * (1.06) = $1 060 000 вместо $1 061 677,81 при ежемесячном начислении.

Непрерывное начисление сложных процентов.

Приведенное выше обсуждение периодов начисления сложных процентов иллюстрирует дискретное начисление, связанное с расчетом процентов за определенный период времени.

Если количество периодов начисления в год становится бесконечным, то такое начисление процентов считается непрерывным.

Если мы хотим использовать формулу будущей стоимости FV с непрерывным начислением, нам нужно найти предельное значение фактора будущей стоимости для m → ∞ (т.е. бесконечно много периодов начисления в год) в формуле 3.

Формула для будущей стоимости суммы через N лет с непрерывным начислением:

\(\mathbf{FV_N= PVe^{r_SN} }\) (формула 4)

Пример (6) расчета будущей стоимости FV с непрерывным начислением процентов.

Предположим, что инвестиции в размере $10 000 будут приносить 8% годовых с непрерывным начислением в течение 2 лет.

Мы можем вычислить будущее значение с помощью формулы 4 следующим образом:

PV = $10,000
rS = 8% = 0.08
N = 2

FVN = \(\mathbf{PVe^{r_SN} }\)
= $10,000 * e0.08(2)
= $10,000 * (1.173511)
= $11,735.11

При такой же процентной ставке, но с использованием непрерывного начисления инвестиции в размере $10 000 вырастут до $11 735,11 за два года по сравнению с $11 716,59 при ежеквартальном начислении, как показано в примере 4.

В таблице ниже показано, как заявленная годовая процентная ставка в размере 8% генерирует разные суммы будущей стоимости при годовом, полугодовом, ежеквартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном начислении для первоначальной инвестиции в размере $1 (с округлением результата до шести знаков после запятой).

Как видно из таблицы, все шесть вариантов начисления имеют одинаковую процентную ставку в 8%, но дают разные результаты из-за различий в частоте начисления процентов (англ. ‘compounding frequency’).

Более частое начисление приводит к увеличению итоговой будущей стоимости FV. Итоговая сумма при непрерывного начисления — это максимальный результат, который можно получить при заявленной годовой ставке 8%.

Из таблицы также видно, что доход от инвестиций в размере $1, по ставке 8,16% при годовом начислении даст такой же доход как ставка 8% при полугодовом начислении.

Этот результат приводит нас к различию между заявленной годовой процентной ставкой и эффективной годовой процентной ставкой (EAR, от англ. ‘effective annual rate’).

Для заявленной годовой процентной ставки в 8% с полугодовым начислением EAR составляет 8,16%.

Среди терминов, используемых для обозначения эффективной годовой доходности по процентным банковским депозитам, следует упомянуть:

  • Годовую процентную доходность (APY от англ. ‘annual percentage yield’) используемую в США.
  • Эквивалентную APY эффективную годовую процентную ставку (EAR, от англ. ‘effective annual rate’), используемую в Великобритании.
  • В отличие от APY и EAR, годовая процентная ставка (APR, от англ. ‘annual percentage rate’) измеряет стоимость заимствований и выражается годовой процентной ставкой.

В США APR рассчитывается как периодическая ставка, умноженная на количество периодов оплаты в год, в результате чего некоторые авторы используют APR в качестве общего синонима для заявленной годовой процентной ставки.

Тем не менее, APR — это термин с юридическим подтекстом. Расчет APR соответствует нормативным стандартам, которые меняются на международном уровне.

Поэтому «заявленная годовая процентная ставка» является предпочтительным общим термином для годовой процентной ставки в годовом исчислении, которая не учитывает промежуточные начисления в течение года.

Заявленные и эффективные процентные ставки.

Заявленная годовая процентная ставка не позволяет рассчитать будущую стоимость напрямую, поэтому для этого нам нужна формула EAR.

Для годовой процентной ставки 8, начисляемой раз в полгода, мы получаем периодическую ставку в 4% (8% / 2).

В течение года инвестиции в размере $1 вырастут до $1 * (1.04)2 = $1.0816, как показано в таблице выше. Проценты, полученные от инвестиций в размере $1, составляют $0,0816 и представляют собой эффективную годовую процентную ставку в размере 8,16%.

Эффективная годовая ставка рассчитывается следующим образом:

EAR = (1 + Периодическая процентная ставка) m — 1 (формула 5)

Периодическая процентная ставка (англ. ‘periodic interest rate’) представляет собой заявленную годовую процентную ставку, деленную на m, где m — количество периодов начисления в 1 году.

Используя предыдущий пример, мы можем рассчитать EAR следующим образом:

(1.04)2 — 1 = 8,16%.

Примеры использования EAR в финансовых вычислениях: см. CFA — Как вычислять эффективную годовую процентную ставку (EAR)?

Концепция EAR распространяется на непрерывное начисление процентов.

Предположим, что проценты по ставке 8% начисляются непрерывно. Мы можем вычислить EAR так же, как и выше, найдя соответствующий фактор будущей стоимости.

В этом случае инвестиции в $1 вырастут до $1e0.08(10) = $1.0833.

Проценты, полученные за 1 год, представляет собой эффективную годовую ставку в 8,33%, что больше, чем EAR в 8,16% с полугодовым начислением, поскольку проценты начисляются чаще.

При непрерывном начислении мы можем рассчитать эффективную годовую ставку следующим образом:

EAR = \(\mathbf{e^{r_S} }\) — 1 (формула 6)

Мы можем изменить формулу для EAR с дискретным и непрерывным начислением, чтобы найти периодическую ставку, соответствующую конкретной эффективной годовой ставке.

Предположим, мы хотим найти соответствующую периодическую ставку для EAR 8,16% с полугодовым начислением.

Мы можем использовать формулу 5 для расчета периодической ставки:

0,0816 = (1 + периодическая ставка)2 — 1
1.0816 = (1 + периодическая скорость)2

Периодическая ставка =
(1.0816)1/2 — 1 =
(1,04) — 1 = 4%

Чтобы рассчитать непрерывно начисляемую ставку (заявленную годовую процентная ставку с непрерывным начислением), соответствующую эффективной годовой ставке 8,33%, мы находим процентную ставку, которая удовлетворяет уравнению формулы 6:

0,0833 = \(\mathbf{e^{r_S} }\) — 1
1.0833 = \(\mathbf{e^{r_S} }\)

Следовательно, ln 1.0833 = rS, а rS = 8%.

Мы видим, что заявленная годовая ставка 8% с непрерывным начислением эквивалентна EAR в 8,33%.

Выше мы рассмотрели порядок расчета будущей стоимости для единичного денежного потока.

Для расчета серии денежных потоков см.: CFA — Как рассчитывать будущую стоимость последовательности денежных потоков (аннуитет)?

Рассмотрим пример размещения 100 руб. на банковском депозите под 15% сроком на один год. Текущая стоимость обозначается в финансовом менеджменте как PV. Таким образом, PV = 100 руб.

Через год инвестор на вложенный вклад получит 15 руб., т.е. сумма денежных средств равна сумме вклада плюс накопленные проценты:

100 + 15 = 115 руб.

Следовательно, будущая стоимость сегодняшних 100 руб. равна 115 руб. Будущую стоимость (future value, FV) можно определить по формуле:

FV = PV (1 + r),

где r — рыночная процентная ставка.

В нашем примере будущая стоимость составит:

FV= PV х (1 + r) = 100 x (1 + 0,15) = 115 руб.

Если через год инвестор из банка не забирает ни проценты, ни сумму первоначального взноса, а размещает эти средства на депозите сроком еще на один год, то будущая стоимость размещенных средств составит:

FV=115 х (1 + 0,15) = 100 х (1 + 0,15) х (1 + 0,15) = 100 х (1 + 0,15) 2 = = 132,25 руб.

В общем виде будущую стоимость текущих денежных средств можно представить следующим образом:

В рассмотренном примере предусмотрено, что инвестор вкладывает деньги на несколько лет под определенный процент. При этом сумма накопленных процентов не изымается, а остается на счете инвестора и на нее начисляются проценты.

Однако условия вклада могут быть и иные. Инвестор каждый год забирает накопленные проценты, а проценты за следующий год начисляются только на первоначальную сумму. В зависимости от способа начисления дохода на вложенный капитал различают простые и сложные проценты.

Простые проценты. По отдельным видам финансовых вложений (депозитные сертификаты, облигации и др.) доход начисляется по методу простых процентов. Например, если инвестор разместил 100 руб. на сберегательном депозите на 1,5 года под 15% годовых, то по окончании срока его доход составит:
100 х 0,15 х 1,5 = 22,5 руб.

При начислении простых процентов будущая стоимость определяется по формуле:
FV = PV х (1 + r х n).

Если 1000 дол. размещены на депозите на пять лет под 10% годовых, то после завершения срока сумма средств, которыми будет располагать инвестор, составит:
1000 х (1 + 0,1 х 5) = 1500,
из которых 1000 дол. — это сумма первоначального взноса и 500 дол. — накопленные проценты.

Используя метод простых процентов, можно сказать, что объявленная номинальная ставка процента является реальной эффективной процентной ставкой. По этой ставке начисляются проценты только на первоначальную сумму взноса.

Сложные проценты. В основе метода сложных процентов лежит тот же принцип начисления ежегодных простых процентов, однако они начисляются не только на первоначальную сумму, но и на сумму процентов, накопленных за истекший период. В этом случае процентный доход не изымается, а остается на счете и прибавляется к величине первоначального взноса.

Будущую стоимость по методу сложных процентов рассчитывают по формуле

Метод сложных процентов всегда интриговал людей. Дж. Кейнс назвал этот процесс «магией сложных процентов». Действительно, на длительных отрезках времени первоначальные суммы, вложенные под сложный процент, увеличиваются очень существенно.

Английский астроном Ф. Бейли в 1810 г. подсчитал, что если в год рождения Христа можно было бы положить 1 пенс под 5% годовых, то к началу XIX в. он превратился бы в такое количество золота, которого хватило бы для заполнения 357 млн земных шаров.

Более практичен был Б. Франклин. После своей смерти в 1790 г. он оставил 1000 фн. ст. (около 4600 дол.) Бостону с условием, что городские власти не будут трогать эти деньги в течение 100 лет. К 1890 году средства увеличились более чем в 72 раза и составили 332 000 дол.

Разницу между временной стоимостью простых и сложных процентов можно проследить на примере табл. 7.1.

Таблица показывает, что в первый год разница в доходе между простым и сложным процентом равна нулю. Затем она начинает незначительно возрастать и становится весьма существенной для 50-летнего периода и громадной для 200-летнего периода.

Для удобства расчета будущей стоимости применяют специальные таблицы, показывающие будущую стоимость денежной единицы через n лет при соответствующей годовой процентной ставке (табл. 7.2).

Пользуясь данной таблицей, определим, сколько денег будет на счете инвестора, который положил 1000 руб. на банковский депозит под 10% сроком на 15 лет. Мы движемся по столбцу «год» до строки 15 лет, а затем перемещаемся по ней вправо до столбца 10%. На пересечении строки и столбца показан итоговый коэффициент, равный 4,177. Следовательно, для нашего примера будущая стоимость вклада:
FV = 1000 х 4,177 = 4177 руб.

На рисунке 7.3 представлена динамика изменения первоначального вклада при простом и сложном начислении процентов.

При простом проценте увеличение стоимости идет по прямой равномерно. При сложном проценте наблюдается ускоренный рост накоплений. Кривая роста тем круче, чем выше ставка процента и длиннее срок инвестирования.

Кроме годового начисления процентов встречаются иные формы инвестиций, по которым проценты начисляются несколько раз в течение года. В этом случае будущая стоимость рассчитывается по формуле

Рассмотрим пример, когда инвестор разместил на банковском депозите 100 руб. сроком на один год, но условиями договора предусмотрено, что начисление процентов осуществляется по полугодиям. Если годовая процентная ставка составляет 15%, то за шесть месяцев начисляется 7,5%. Будущая стоимость годового депозита в нашем примере составит:

Если выплаты идут несколько раз в течение года, то реальный процент получается больше, чем номинальная процентная ставка. В таблице 7.3 показаны номинальные процентные ставки и реальные (эффективные) проценты.

Из представленной таблицы видно, что если выплаты осуществляются один раз в год, то номинальная процентная ставка, указанная в договоре, равна эффективному проценту. Если же проценты начисляются несколько раз в год, то эффективный процент больше номинальной процентной ставки. Например, если в договоре указана годовая процентная ставка 15%, а начисление процентов осуществляется ежеквартально, то фактически через год инвестор заработает 15,87%. Если банк предлагает два варианта размещения средств на депозите: 15,5% с выплатой раз в год и 15% с ежеквартальным начислением процентов, то второй вариант более выгоден, так как фактическая доходность составит 15,87%.

Данные таблицы свидетельствуют, что чем чаще осуществляется начисление процентов в течение года, тем выше фактическая доходность по сравнению с номинальной. Поэтому при инвестировании средств необходимо учитывать частоту процентных выплат.