Математика в логистике

Моделирование основывается на подобии систем или процессов, которое может быть полным или частичным. Основная цель моделирования — прогноз поведения процесса или системы. Ключевой вопрос моделирования — «ЧТО БУДЕТ, ЕСЛИ…?»

Существенной характеристикой любой модели является степень полноты подобия модели моделируемому объекту. По этому признаку все модели можно подразделить на изоморфные и гомоморфные (рис. 23).

Изоморфные модели — это модели, включающие все характеристики объекта-оригинала, способные, по существу, заменить его. Если можно создать и наблюдать изоморфную модель, то

Рис. 23. Классификация моделей логистических систем наши знания о реальном объекте будут точными. В этом случае мы сможем точно предсказать поведение объекта.

Гомоморфные модели. В их основе лежит неполное, частичное подобие модели изучаемому объекту. При этом некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем. В результате упрощаются построение модели и интерпретация результатов исследования. При моделировании логистических систем абсолютное подобие не имеет места. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать лишь гомоморфные модели, не забывая, однако, что степень подобия у них может быть различной.

Следующим признаком классификации является материальность модели. В соответствии с этим признаком выделяют материальные и абстрактные модели.

Материальные модели воспроизводят основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого явления или объекта. К этой категории относятся, в частности, уменьшенные макеты производственных предприятий или предприятий оптовой торговли, позволяющие решать вопросы оптимального размещения оборудования и организации грузовых потоков.

Абстрактное моделирование часто является единственным способом моделирования в логистике. Его подразделяют на символическое и математическое.

К символическим моделям относят языковые и знаковые.

Языковые модели — это словесные модели, в основе которых лежит набор слов (словарь), очищенных от неоднозначности. Этот словарь называется «тезаурус». В нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, в то время как в обычном словаре одному слову могут соответствовать несколько понятий.

Знаковые модели. Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т.е. знаки, а также договориться об операциях между этими знаками, то можно дать символическое описание объекта.

Математическим моделированием называется процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. В логистике широко применяются два вида математического моделирования: аналитическое и имитационное.

Аналитическое моделирование — это математический прием исследования логистических систем, позволяющий получать точные решения. Аналитическое моделирование осуществляется в следующем порядке.

Первый этап. Формулируются математические законы, связывающие объекты системы. Эти законы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференциальных и т.п.).

Второй этап. Решение уравнений, получение теоретических результатов.

Третий этап. Сопоставление полученных теоретических результатов с практикой (проверка на адекватность).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системами. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическими методами наталкивается на определенные трудности, что является существенным недостатком метода. В этом случае, чтобы использовать аналитический метод, необходимо существенно упростить первоначальную модель, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы.

К достоинствам аналитического моделирования относят большую силу обобщения и многократность использования.

Другим видом математического моделирования является имитационное моделирование.

Как уже отмечалось, логистические системы функционируют в условиях неопределенности окружающей среды. При управлении материальными потоками должны учитываться факторы, многие из которых носят случайностный характер. В этих условиях создание аналитической модели, устанавливающей четкие количественные соотношения между различными составляющими логистических процессов, может оказаться либо невозможным, либо слишком дорогим.

При имитационном моделировании закономерности, определяющие характер количественных отношений внутри логистических процессов, остаются непознанными. В этом плане логистический процесс остается для экспериментатора «черным ящиком».

Процесс работы с имитационной моделью в первом приближении можно сравнить с настройкой телевизора рядовым телезрителем, не имеющим представления о принципах работы этого аппарата. Телезритель просто вращает разные ручки, добиваясь четкого изображения, не имея при этом представления о том, что происходит внутри «черного ящика».

Точно так же экспериментатор «вращает ручки» имитационной модели, меняя при этом условия протекания процесса и наблюдая получаемый результат. Определение условий, при которых результат удовлетворяет требованиям, является целью работы с имитационной моделью.

Имитационное моделирование включает в себя два основных процесса: первый — конструирование модели реальной системы, второй — постановка экспериментов на этой модели. При этом могут преследоваться следующие цели: а) понять поведение логистической системы; б) выбрать стратегию, обеспечивающую наиболее эффективное функционирование логистической системы.

Имитационное моделирование осуществляется с помощью компьютеров. Условия, при которых рекомендуется применять имитационное моделирование, приведены в работе Р. Шеннона «Имитационное моделирование систем — наука и искусство». Перечислим основные из них.

• 1. Не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели.
• 2. Аналитические модели имеются, но процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.
• 3. Аналитические решения существуют, но их реализация невозможна вследствие недостаточной математической подготовки имеющегося персонала.

Таким образом, основным достоинством имитационного моделирования является то, что этим методом можно решать более сложные задачи. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать случайные воздействия и другие факторы, которые создают трудности при аналитическом исследовании.

При имитационном моделировании воспроизводится процесс функционирования системы во времени. Причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Модели не решают, а осуществляют прогон программы с заданными параметрами, меняя параметры, осуществляя прогон за прогоном.

Имитационное моделирование имеет ряд существенных недостатков, которые также необходимо учитывать.

1. Исследования с помощью этого метода обходятся дорого.

Причины:

• o для построения модели и экспериментирования на ней необходим высококвалифицированный специалист-программист;
• o необходимо большое количество вычислительных ресурсов, поскольку метод основывается на статистических испытаниях и требует многочисленных прогонов программ;
• o модели разрабатываются для конкретных условий и, как правило, не тиражируются.
• 2. Велика вероятность ложной имитации. Процессы в логистических системах носят вероятностный характер и поддаются моделированию только при введении определенного рода допущений. Например, разрабатывая имитационную модель товароснабжения района и принимая среднюю скорость движения автомобиля на маршруте, равную 25 км/ч, мы исходим из допущения, что дорожные условия хорошие. В действительности погода может испортиться и, в результате наступившего гололеда, скорость на маршруте упадет до 15 км/ч. Реальный процесс пойдет иначе.

Описание достоинств и недостатков имитационного моделирования можно завершить словами Р. Шеннона: «Разработка и применение имитационных моделей в большей степени искусство, чем наука. Следовательно, успех или неудача в большей степени зависит не от метода, а от того, как он применяется».

2. Методы теории вероятностей в коммерции и логистике Наличие в коммерции и логистичеких процессах случайных величин служит основанием для применения методов теории вероятностей. Указанные величины порождаются характером функционирования рыночной экономики. В такой экономике коммерческие и логистические процессы находятся под воздействием множества случайных стохастических факторов, в частности, спроса и предложения, состояния конкурентной среды. Стохастические величины коммерции и логистики представлены в таблице. Таблица 2.1. Стохастические величины коммерции и логистики. Случайные величины Коммерция 1. Платежеспособность; 2. Объем реализации товаров; 3. Длительность реализации товаров; 4. Выручка от реализации товаров; 5. Издержки торговые; 6. Интенсивность продаж; 7. Товарооборот торгового предприятия; 8. Движение товарного запаса; 9. Объем нереализованных товаров и возвратных потоков; 10. Число некачественного товара при приемке продукции. Логистика 1. Время доставки (транспортировки) продукции; 2. Время погрузки выгрузки; 3. Величина выборки при качественной приемке продукции; 4. Уровень использования транспортных средств; 5. Поток заявок на обслуживание; 6. Время обслуживания; 7. Движение страхового запаса; 8. Распределение продукции по группам АВС; 9. Объем партий отгрузи продукции; 10. Надежность поставок. Представленное деление случайных величин в значительной мере носит условный характер, поскольку одни и те же величины могут быть отнесены как к коммерции, так и к логистике. Такое положение обусловлено тем, что в современных условиях коммерция функционирует на основе логистической концепции в форме синтеза коммерции и логистики коммерческой логистики. Важное место в коммерческих и логистических операциях занимает качественная приемка продукции. Как правило, такая приемка выполняется с помощью случайной выборки. Рассматриваемая ситуация выглядит следующим образом: в партии из изделий k бракованных (некачественных). Определить вероятность того, что из m выбранных для проверки изделий ровно l окажутся бракованными. Решение:

2 m Для определения всех возможных способов взять m изделий из, т.е. С. Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа k взято l таких способов С. Остальные (m l) небракованные, и они взяты из общего числа (-k): таких способов l k С. m l k Поэтому число благоприятствующих случаев равно искомая вероятность: l m l Ck C k P m. C l С k С m l k. Отсюда m Величина С — количество сочетаний из по m, определяется по формуле:! С m, m!( m)! где! = 1 2 3 ( «факториал») Для вычисления числа сочетаний используется равенство: m m С C Факториалы больших чисел могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга:! e 2, l(!) ( 1 )l 2 l 2. Пример: в партии поставки 100 изделий, величина бракованных изделий 5% (k = 5). Определить вероятность того, что в выборке из 5 изделий хотя бы одно окажется бракованным (l = 1). Таким образом, имеем исходные данные: N K m l 100 5 5 1 Вычисления: m 100! 1 2 3…95 96 97 98 99 100 9034502400 1) С = 5!95! 1 2 3 4 5 1 2 3…95 120 =75287520; l 5! 1 2 3 4 5 2) С k 5 ; 1!4! 1 2 3 4

3 5 1 4 95! 1 2 3…91 92 3) С l k С 100 5 С95 4!91! 1 2 3 4 1 76405080 = 24 3183545 ; 4) P 5 3183545 15917725 75287520 75287520 0, 21. 93 94 95 = 2 3…91 Согласно выполненным расчетам, вероятность обнаружения бракованного изделия из выборки в 5 изделий равна 0,21. Задача 2.1. В партии поставки 100 изделий, величина бракованных изделий 5% (k = 5). Определить вероятность обнаружения одного бракованного изделия из выборки в 20 изделий, т.е. k M L Р 100 5 20 1? Прокомментировать полученные вероятности в первом и во втором случаях. Как изменится вероятность обнаружения изделия с браком при увеличении выборки в 4 раза от 5 до 20 изделий? Задача 2.2. По техническим условиям в партии товара количество изделий второго сорта не должно превышать 10 % — остальные принимаются как первосортные. В партии 100 изделий, выборка 10 изделий. Определить вероятность того, что в выборке окажется одно изделие второго сорта. Задача 2.3. Объем брака в партии товара не должен превышать одного процента. Объем партии товара 100 единиц, выборка 10 единиц. Определить вероятность обнаружения одной единицы товара с дефектом. Задача 2.4. К отгрузке подготовлена партия товара в количестве 500 единиц. Допустимый уровень брака 2 %. Производится выборка в 50 единиц. Какова вероятность обнаружения одного бракованного изделия? Задача 2.5. Вычислить вероятности обнаружения одного бракованного изделия при = cost, k= cost, l = cost; изменяются размеры выборки. Исходные данные представлены в таблице: k m l 100 5 5 1 100 5 10 1 100 5 20 1 m С l С k С Р m l k

4 100 5 25 1 100 5 50 1 В данной таблице заполнить пустые столбцы, в том числе столбец «Р», построить график P=f(m). Вычисление вероятностей событий при повторных независимых испытаниях. В партии товара всего 1 % брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно изделие с браком была бы не менее 0,95? Искомое число находится по формуле: l(1 P), l(1 p) где Р вероятность обнаружения события (в данном случае изделия с браком); р вероятность наступления события (в данном случае уровень брака). Пример: вероятность брака р = 0,01 (1 %); Требуемая вероятность обнаружения Р = 0,95, тогда l(1 0,95) l 0,05 3,0 300. l(1 0,01) l 0,99 0,01 Задача 2.6. Как изменится объем необходимой выборки с увеличением доли брака и ослаблением требований к вероятность его обнаружения? Результаты вычислений представить в таблице: Вероятности обнаружения брака, Р 0,99 0,95 0,90 Доля брака, р 0,01 0,05 0,1 0,15 0,20 Полученные результаты представить в графической форме. Задача 2.7. Имеется множество изделий в количестве 1000 единиц, доля брака 0,5 %. Какой величиной должна быть выборка, чтобы обнаружить хотя бы одно бракованное изделие. В задачах 2.8 2.10 следует использовать формулу биноминального распределения вероятностей.

5 Задача 2.8. База снабжает 10 потребителей. Вероятность поступления заявки от одного потребителя в день равна 0,7. Определить вероятности поступления заявок 0, 1, 2, 3 10. Построить график распределения вероятностей. Задача 2.9. Распределительный центр обслуживает 20 магазинов. Вероятность поступления заявки на товар равна 0,6 — наивероятнейшее число заявок; — вероятность поступления наивероятнейшего числа заявок; — вероятность поступления заявок от 10 магазинов. Задача 2.10. Распределительный центр обслуживает торговую сеть из 30 магазинов. Вероятность поступления заявки от одного магазина равна 0,4. — наивероятнейшее число заявок; — вероятность поступления наивероятнейшего числа заявок; — вероятность поступления заявок от всех магазинов; — вероятность отсутствия заявок. В задачах 2.11 2.13 следует использовать формулу распределения Пуассона. Задача 2.11. Время работы базы с 8 00 до 20 00 ежедневно. В течение дня за товаром поступает 36 автомашин. Определить вероятности поступления на базу в течение одного часа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 автомашин. Задача 2.12. Среднее число заявок, поступающих в систему в течение одного часа 5. Определить распределение вероятностей поступления в систему в течение одного часа от 0 до 10 заявок. Построить график. Задача 2.13. На расчетно-кассовый узел универсама в течение одной минуты приходят в среднем три покупателя. Определить вероятности отсутствия покупателей, а также прихода одного или двух покупателей. Задачи на нормальные и экспоненциальные распределения вероятностей. Задача 2.14. Дано: сведения о реализации продукции (табл.) Объемы реализации, млн. руб. До 1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 Свыше 6 Количество случаев 2 4 6 10 8 3 2

6 — параметры закона распределения вероятностей; — построить график закона распределения вероятностей. Проверка соответствия теоретического распределения фактическому по критерию Х 2 (Пирсона). Пример: Дано фактическое время погрузки одной автомашины: Время погрузки, час t 0-2 2-4 4-6 6-10 Свыше 10 Количество 80 15 3 1 1 автомашин, п ф Определить вид теоретического распределения и оценить его соответствие фактическим данным. Решение: Представленные данные в качестве гипотезы позволяют принять экспоненциальный закон. Определяются параметры экспоненциального закона. Вычисляется среднее время погрузки: 1 80 = 80 3 15 = 45 5 3 = 15 8 1 = 8 12 1 = 12 Итого 160 машиночас., отсюда среднее время погрузки 160 t 1,6 час., 100 тогда 1 0,625 1,6 Получаем выражение для теоретического распределения: 0,625t у 0,625 е. Порядок вычисления теоретических частот (автомашин) п т представлен в таблице 2.2.: Построение теоретического распределения. Время погрузки Величины 0 2 4 6 10 1-0,625t 0-1,25-2,5-3,75-6,25 2 е -0,625t 1 0,286 0,082 0,023 0,006 3 0,625 е -0,625t 0,625 0,179 0,051 0,014 0,004 4 е e х i x i (разности предыдущей строки) 1 0,446 0,128 0,037 0,010 0,621 *

9 Прокомментировать полученные вероятности в первом и во втором случаях. Как изменится вероятность обнаружения изделия с браком при увеличении выборки в 4 раза от 5 до 20 изделий? Задача 2.22. На расчетно-кассовый узел универсама в течение одной минуты приходят в среднем четыре покупателя. Определить вероятности отсутствия покупателей, а также прихода одного или двух покупателей.