Погрешность измерений ГОСТ

Требования к методикам выполнения измерений

При проведении метрологической экспертизы особое внимание уделяют выбору методик выполнения измерений, которые должны обеспечивать контролепригодность с учетом требований к точности параметров и их инструментальной доступности на объекте. При возможности использования конкурирующих МВИ следует выбирать не ту методику, которая обладает самой высокой точностью, а такую, которая требовала бы наименьших затрат с учетом имеющихся материальных ресурсов, либо позволяла минимизировать затраты на проектирование процессов измерений при необходимости приобретения и/или разработки новых средств измерений.

Общие требования, предъявляемые к методике выполнения измерений, можно сформулировать в следующем виде:

1. Обеспечение требуемой точности измерений.
2. Обеспечение экономичности измерений.
3. Обеспечение безопасности измерений.
4. Обеспечение представительности (валидности) результатов измерений.

Поскольку идеальным результатом измерения является истинное значение физической величины, которое получить невозможно, то оптимальным результатом измерения будет являться такой, который может адекватно заменить недостижимое истинное значение. Этот подход зафиксирован в стандартном определении действительного значения физической величины и может использоваться для формулирования цели измерения.

Цель любого измерения – получение действительного значения измеряемой ФВ, то есть такого значения, которое достоверно представляло бы истинное значение измеряемой ФВ. Различают значения, которые соответствуют по-разному поставленным измерительным задачам: одни могут быть приняты за действительное значение корректно нормированной ФВ, другие – за достоверную оценку ненормированной измеряемой ФВ.

Точность является необходимым условием для использования результатов измерений. Несоблюдение этого условия делает невозможным получение действительного значения измеряемой физической величины. Обеспечение точности измерений заключается в установлении требуемого соотношения допустимой погрешности измерений и значения предела реализуемой в ходе измерений погрешности Δ

Δ ≤ .

Запас точности измерений (избыточная точность) как правило оказывается нерациональным, поскольку предельное соотношение Δ = обеспечивает достоверность измерительной информации, а уменьшение погрешности измерений ведет к резкому росту затрат на их выполнение.

Экономичность измерений – не абсолютное требование, по экономичности можно сравнивать только конкурентоспособные МВИ, гарантирующие необходимую точность. При оценке экономичности измерений учитывают производительность и себестоимость измерительной операции, необходимую квалификацию оператора, наличие конкурирующих СИ, цену универсальных СИ, стоимость разработки и изготовления специального (нестандартизованного) СИ, возможность многоцелевого использования данных СИ и др.

При рассмотрении безопасности измерений следует анализировать опасности, связанные с измеряемым объектом, а также те, которые могут нести средства измерений. Опасны такие явления, связанные с измеряемыми величинами, как высокие давления, механические и электрические напряжения, сила электрического тока, радиоактивность и многие другие. Источниками опасности применяемых средств измерений могут быть используемые для измерительных преобразований подвижные механические элементы, высокие давления и электрические напряжения, когерентные пучки оптических частот и другие энергетически насыщенные явления.

Обеспечение представительности (валидности) результатов измерений выходит за рамки разработки МВИ в узком смысле. Представительность результатов многократных измерений одной и той же ФВ связано с числом измерений и с выбранной доверительной вероятностью. При измерительном контроле представительными можно считать результаты, которые позволяют создать адекватную модель контролируемого объекта по измеряемым параметрам. (Метрологическое моделирование рассмотрено в отдельном модуле). Необходимы разные подходы к обеспечению представительности при измерительном контроле объекта, на котором воспроизводится множество номинально одинаковых ФВ и при измерительном контроле множества номинально одинаковых объектов. Принципиально отличаются также задачи измерений разных ФВ или изменяющейся ФВ.

При многократных измерениях одной и той же ФВ представительность результата измерений обусловлена его достоверностью и связана с числом наблюдений при измерениях – чем больше (в разумных пределах) наблюдений в серии, тем более четко проявляются систематические составляющие погрешности измерений и тем достовернее становятся статистические оценки средних квадратических значений и границ случайной погрешности. Представительность результата измерений при многократных наблюдениях одной и той же ФВ зависит также от выбранной доверительной вероятности. Уровень представительности тем выше, чем больше вероятность накрытия истинного значения полученной в ходе измерений интервальной оценкой.

Примерами соответствия «один объект – одна ФВ» являются масса тела, сопротивление резистора, температура плавления вещества. Ситуацию «один объект – множество номинально одинаковых ФВ» можно рассмотреть на примере таких геометрических параметров детали, как расстояние между номинально плоскими гранями, «диаметры» номинально цилиндрической поверхности в разных сечениях, угол между номинально плоскими гранями. Отличаются (пусть незначительно) коэффициенты преломления одной оптической детали, локальные плотности неоднородного материала, параметры твердости поверхности на разных участках после одинаковой термообработки и т.д.

При измерительном контроле объекта с множеством номинально одинаковых ФВ представительными можно считать те результаты, которые с достаточной полнотой характеризуют исследуемый объект. Представительность в таком случае обеспечивается достаточным числом измерений и правильным выбором контрольных точек (контрольных сечений).

Нарушение представительности при измерении номинально одинаковых физических величин может быть обусловлено неидеальностью объекта измерения. Так, реальная поверхность шейки вала может отличаться от прямого кругового цилиндра, например наличием конусообразности или бочкообразности в продольном сечении, овальности или огранки в поперечном сечении или другими погрешностями формы. В подобном случае представительность результатов зависит не только от числа и расположения контрольных сечений, но и от методических погрешностей измерений и обеспечивается только при их удовлетворительных (пренебрежимо малых) значениях. Наибольшую опасность представляют невыявленные методические погрешности, например такие, как отклонения от круглости в виде нечетной огранки при двухконтактной схеме измерений.

Множество номинально одинаковых ФВ на множестве однородных (номинально одинаковых) объектов – массы однотипных деталей в партии, геометрические размеры и твердость их одинаковых поверхностей, выходные напряжения одинаковых источников постоянного тока (батареек), фокусные расстояния однотипных линз, т.е. любые комбинации двух предыдущих ситуаций.

Представительность результатов измерительного контроля номинально одинаковых ФВ, принадлежащих разным объектам, включает две очевидные составляющие: представительность результатов измерительного контроля каждого из объектов и представительность выборки из партии объектов.

Представительность результатов измерений разных ФВ или изменяющейся ФВ можно свести к задачам различения отдельных измеряемых величин, причем глубина изучения каждой из величин и их отличий определяются поставленными задачами исследований.

При наличии нескольких конкурирующих вариантов, выбор конкретной МВИ начинают с проверки удовлетворения главных требований – обеспечения достаточной точности и представительности. Затем можно сопоставлять МВИ по неметрологическим свойствам (производительность, себестоимость измерений, уровень безопасности и др.). Выбор зависит от конкретных требований и ресурсов, в соответствии с которыми и определяют критерии для оценки конкурентоспособных МВИ.

Задачи измерений и методы назначения допустимой погрешности измерений

«Конечные цели измерений» в МИ 1317–86 («Методические указания. ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров») изложены несколько противоречиво. В частности, утверждение, что конечный результат измерений «не обязательно представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины» противоречит приведенному в том же разделе высказыванию «конечный результат в том или ином виде отражает требуемую информацию о количественных свойствах явлений, процессов (в том числе технологических), материальных объектов (материалов, полуфабрикатов, изделий и т.п.)». В том же документе говорится о «назначении измерений» (контроль параметров продукции, испытания образцов продукции…, учет материальных и энергетических ресурсов, диагностика технического состояния машин,…).

Страница 1 из 6 Следующая

ГОСТ Р 8.736-2011
Группа Т80

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственная система обеспечения единства измерений

ИЗМЕРЕНИЯ ПРЯМЫЕ МНОГОКРАТНЫЕ

Методы обработки результатов измерений. Основные положения

ОКС 17.020
ОКСТУ 0008

Дата введения 2013-01-01

Предисловие

Предисловие

1 РАЗРАБОТАН Федеральным государственным унитарным предприятием «Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им.Д.И.Менделеева» (ФГУП «ВНИИМ им.Д.И.Менделеева»)

2 ВНЕСЕН Управлением метрологии Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 13 декабря 2011 г. N 1045-ст

4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ
5 ПЕРЕИЗДАНИЕ. Март 2019 г.
Правила применения настоящего стандарта установлены в статье 26 Федерального закона от 29 июня 2015 г. N 162-ФЗ «О стандартизации в Российской Федерации». Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе «Национальные стандарты», а официальный текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru)

1 Область применения

Настоящий стандарт распространяется на прямые многократные независимые измерения и устанавливает основные положения методов обработки результатов этих измерений и вычисления погрешностей оценки измеряемой величины.
В настоящем стандарте учтены требования, предъявляемые к методам и результатам измерений в соответствии с ГОСТ Р 5725-1, ГОСТ Р 5725-2, ГОСТ Р 5725-3, ГОСТ Р 5725-4, ГОСТ Р 5725-5, ГОСТ Р 5725-6*.
______________
* Вероятно ошибка оригинала. Следует читать: ГОСТ Р ИСО 5725-1, ГОСТ Р ИСО 5725-2, ГОСТ Р ИСО 5725-3, ГОСТ Р ИСО 5725-4, ГОСТ Р ИСО 5725-5, ГОСТ Р ИСО 5725-6. — Примечание изготовителя базы данных.

2 Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие стандарты:
ГОСТ Р ИСО 5725-1 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 1. Основные положения и определения
ГОСТ Р ИСО 5725-2 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 2. Основной метод определения повторяемости и воспроизводимости стандартного метода измерений
ГОСТ Р ИСО 5725-3 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 3. Промежуточные показатели прецизионности стандартного метода измерений
ГОСТ Р ИСО 5725-4 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 4. Основные методы определения правильности стандартного метода измерений
ГОСТ Р ИСО 5725-5 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 5. Альтернативные методы определения прецизионности стандартного метода измерений
ГОСТ Р ИСО 5725-6 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 6. Использование значений точности на практике
Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю «Национальные стандарты», который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты» за текущий год. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия). Если после утверждения настоящего стандарта в ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссылка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссылку.

3 Термины и определения

В настоящем стандарте применены следующие термины с соответствующими определениями.

3.1

результат измерения физической величины; результат измерения; результат: Значение величины, полученное путем ее измерения.
, статья 8.1]

3.2 неисправленный результат измерений величины: Результат измерений величины, полученный до введения в него поправки в целях устранения систематических погрешностей.

3.3 исправленный результат измерений величины: Результат измерений величины, полученный после введения поправки в целях устранения систематических погрешностей в неисправленный результат измерений величины.

3.4 неисправленная оценка измеряемой величины: Среднее арифметическое значение результатов измерений величины до введения в них поправки в целях устранения систематических погрешностей.

3.5 исправленная оценка измеряемой величины: Среднее арифметическое значение результатов измерений величины после введения поправки в целях устранения систематических погрешностей в неисправленную оценку измеряемой величины.

3.6 группа результатов измерений величин: Несколько результатов измерений (не менее четырех, 4), полученных при измерениях одной и той же величины, выполненных с одинаковой тщательностью, одним и тем же средством измерений, одним и тем же методом и одним и тем же оператором.

3.7 погрешность измерения: Разность между результатом измерения величины и действительным (опорным) значением величины.

3.8 случайная погрешность измерения; случайная погрешность: Составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью.

3.9 систематическая погрешность измерения; систематическая погрешность: Составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью.

3.10 неисключенная систематическая погрешность измерения: Составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью оценивания систематической погрешности, на которую введена поправка, или систематической погрешностью, на которую поправка не введена.

3.11 грубая погрешность измерения: Погрешность измерения, существенно превышающая зависящие от объективных условий измерений значения систематической и случайной погрешностей.

4 Общие положения

4.1 Необходимость выполнения прямых многократных измерений устанавливают в конкретных методиках измерений.
Примечание — Под многократными измерениями понимают не менее четырех измерений.

4.2 При статистической обработке группы результатов прямых многократных независимых измерений выполняют следующие операции:
— исключают известные систематические погрешности из результатов измерений;
— вычисляют оценку измеряемой величины;
— вычисляют среднее квадратическое отклонение результатов измерений;
— проверяют наличие грубых погрешностей и при необходимости исключают их;
— проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению;
— вычисляют доверительные границы случайной погрешности (доверительную случайную погрешность) оценки измеряемой величины;
— вычисляют доверительные границы (границы) неисключенной систематической погрешности оценки измеряемой величины;
— вычисляют доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины.

4.3 Проверку гипотезы о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, проводят с уровнем значимости от 10% до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике измерений.

4.4 Для определения доверительных границ погрешности оценки измеряемой величины доверительную вероятность принимают равной 0,95.
В случаях, когда измерение не представляется возможным повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности 0,99.
В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается кроме доверительной вероятности 0,99 указывать более высокую доверительную вероятность.

4.5 В настоящем стандарте изложены требования к методам обработки результатов измерений и к оцениванию точности измеряемой величины посредством погрешностей.

5 Оценка измеряемой величины и среднее квадратическое отклонение

5.1 Оценку измеряемой величины , за которую принимают среднее арифметическое значение исправленных результатов измерений, вычисляют по формуле

, (1)

где — -й результат измерений;
— число исправленных результатов измерений.
Примечание — Если во всех результатах измерений содержится постоянная систематическая погрешность, ее допускается исключить из вычисленного среднего арифметического значения неисправленных результатов измерений.

5.2 В целях удобства вычислений формулу (1) допускается записать в виде

, (2)

где — близкое к значение, удобное для расчета;
.

5.3 Среднее квадратическое отклонение группы, содержащей результатов измерений, вычисляют по формуле

. (3)

Примечание — Наличие случайных погрешностей вызывает рассеяние результатов измерений. В качестве основной числовой характеристики случайного рассеяния результатов измерений принята дисперсия или стандартное отклонение . Ограниченное число результатов измерений позволяет получать лишь оценки этих характеристик ( и ). Математическое ожидание оценки равно дисперсии , однако математическое ожидание оценки отлично от , так как оценка смещена.
Несмещенную оценку допускается вычислять по упрощенной формуле

В этом случае смещение оценки не более 1%.

5.4 Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического (оценки измеряемой величины) вычисляют по формуле

. (4)

6 Исключение грубых погрешностей

6.1 Для исключения грубых погрешностей используют критерий Граббса. Статистический критерий Граббса исключения грубых погрешностей основан на предположении о том, что группа результатов измерений принадлежит нормальному распределению. Для этого вычисляют критерии Граббса и , предполагая, что наибольший или наименьший результат измерений вызван грубыми погрешностями:

, . (5)

Сравнивают и с теоретическим значением критерия Граббса при выбранном уровне значимости . Таблица критических значений критерия Граббса приведена в приложении А.
Если , то исключают как маловероятное значение. Если , то исключают как маловероятное значение. Далее вновь вычисляют среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонения ряда результатов измерений и процедуру проверки наличия грубых погрешностей повторяют.
Если , то не считают промахом и его сохраняют в ряду результатов измерений. Если , то не считают промахом и его сохраняют в ряду результатов измерений*.

7 Доверительные границы случайной погрешности

7.1 Доверительные границы случайной погрешности оценки измеряемой величины в соответствии с настоящим стандартом устанавливают для результатов измерений, принадлежащих нормальному распределению.
При невыполнении этого условия методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике измерений.

7.2 При числе результатов измерений 15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. При этом вычисление доверительных границ случайной погрешности оценки измеряемой величины по методике, предусмотренной настоящим стандартом, допускается только в том случае, если заранее известно, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению.
Примечание — Если не известно распределение погрешностей оценки искомой величины, способы нахождения доверительных границ случайной погрешности могут быть указаны в методике измерений с учетом того, что подобные измерения повторяют.

7.3 При числе результатов измерений 1550 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтителен составной критерий, приведенный в приложении Б.

7.4 При числе результатов измерений 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтителен один из критериев: К.Пирсона или Мизеса-Смирнова. Критерий К.Пирсона приведен в приложении В, критерий Мизеса-Смирнова — в приложении Г.

7.5 Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности оценки измеряемой величины вычисляют по формуле

, (6)

где — коэффициент Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности и числа результатов измерений находят по таблице, приведенной в приложении Д.

8 Доверительные границы неисключенной систематической погрешности

8.1 Неисключенная систематическая погрешность (далее — НСП) оценки измеряемой величины образуется из составляющих, в качестве которых могут быть приняты НСП:
— метода;
— средства измерений;
— вызванные другими источниками.
В качестве границ составляющих НСП принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.

8.2 Границу НСП оценки измеряемой величины при наличии менее трех (3) НСП, каждая из которых представлена границами , оценивают по формуле

. (7)

8.3 При наличии трех и более составляющих НСП распределение внутри границ этих составляющих (погрешности средств измерений каждого типа, погрешности поправок и т.д.) рассматривают как распределение случайных величин. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их распределения принимают равномерными.

8.4 При числе составляющих НСП более или равном трем (3) доверительные границы НСП оценки измеряемой величины вычисляют путем построения композиции НСП. При равномерном распределении НСП доверительные границы допускается вычислять по формуле

, (8)

где — граница -й НСП;
— коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, числом составляющих НСП и их соотношением между собой.
Для доверительной вероятности 0,95 коэффициент пренебрежимо мало зависит от числа составляющих НСП и их соотношения, поэтому при указанной доверительной вероятности коэффициент принимают равным 1,1.
Для доверительной вероятности 0,99 коэффициент принимают равным 1,4, если число суммируемых НСП более четырех (4). Если же число суммируемых НСП равно четырем или менее четырех (4), то коэффициент определяют по графику зависимости , приведенному на рисунке 1, где ось абсцисс соответствует значениям отношения . На рисунке 1 кривая 1 соответствует 2; кривая 2 — 3; кривая 3 — 4.
При трех или четырех суммируемых НСП в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других, в качестве следует принять ближайшую к составляющую.

Рисунок 1 — Зависимость

8.5 Если НСП появляется в результате исключения систематической погрешности от воздействия влияющей величины на измеряемую величину , то при исключении систематической погрешности, возникающей из-за изменения этой влияющей величины, необходимо определить зависимость измеряемой величины от влияющей величины . В этом случае при вычислении границ НСП оценки измеряемой величины необходимо учитывать коэффициент влияния , получаемый при разложении функции влияния в ряд Тейлора.
При наличии одной НСП, представленной границами, и второй НСП, представленной с коэффициентом влияния, формула (7) будет иметь вид

. (9)

При суммировании не более трех НСП (3), полученных от воздействия влияющих величин (и при отсутствии НСП, возникающих при непосредственном влиянии систематической погрешности на измеряемую величину), формула (7) будет иметь вид

. (10)

При наличии числа НСП, представленных границами, и числа НСП, полученных от воздействия влияющих величин и представленных с коэффициентами влияния, формула (8) будет иметь вид

. (11)

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

9 Доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины

9.1 Доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП, рассматриваемых как случайные величины в соответствии с 8.3. Если доверительные границы случайных погрешностей найдены в соответствии с разделом 7, границы погрешности оценки измеряемой величины (без учета знака) вычисляют по формуле

, (12)

где — коэффициент, зависящий от соотношения случайной составляющей погрешности и НСП.
Суммарное среднее квадратическое отклонение оценки измеряемой величины вычисляют по формуле

, (13)

где — среднее квадратическое отклонение НСП, которое оценивают в зависимости от способа вычисления НСП по формуле

, (14)

где — границы НСП, которые определяют по одной из формул (7), (9), (10) или

, (15)

где — доверительные границы НСП, которые определяют по одной из формул (8), (11);
— коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью , числом составляющих НСП и их соотношением между собой.
Коэффициент для подстановки в формулу (12) в зависимости от числа НСП определяют по эмпирическим формулам соответственно

, . (16)

10 Форма записи оценки измеряемой величины

10.1 Оформление записи оценок измеряемых величин проводят в соответствии с правилами по межгосударственной стандартизации .

10.2 Округление при обработке результатов измерений выполняют в соответствии с приложением Е.

10.3 При симметричных доверительных границах погрешности оценку измеряемой величины представляют в форме

, , (17)

где — оценка измеряемой величины.
Числовое значение оценки измеряемой величины должно оканчиваться цифрой того разряда, что и значение погрешности .

10.4 При отсутствии данных о виде функций распределений составляющих погрешности оценки измеряемой величины и необходимости дальнейшей обработки результатов измерений или анализа погрешностей оценки измеряемой величины представляют в форме

; ; ; . (18)

В случае, когда границы неисключенной систематической погрешности вычисляют в соответствии с 8.5, следует дополнительно указывать доверительную вероятность .
Примечание — Оценки и могут быть выражены в абсолютной и относительной формах.

Приложение А (справочное). Критические значения для критерия Граббса

Приложение А
(справочное)

Таблица А.1 — Критические значения для критерия Граббса

Приложение Б (справочное). Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе результатов измерений 15 < n меньше или равно 50

Приложение Б
(справочное)

Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе результатов измерений 1550

При числе результатов измерений 50 нормальность их распределения проверяют с помощью составного критерия.

Б.1 Критерий
Вычисляют отношение

, (Б.1)

где — смещенное среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле

. (Б.2)

Результаты измерений в ряду считают распределенными нормально, если

, (Б.3)

Б.2 Критерий 2
Считают, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, если не более разностей превысили значение ,
где — среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле (3);
— верхний квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающий вероятности .
Значения вероятности определяют из таблицы Б.2 по выбранному уровню значимости , %, и числу результатов измерений . Зависимость от приведена в таблице Б.3.
При уровне значимости, отличном от предусмотренных в таблице Б.2, значение находят путем линейной интерполяции.
При несоблюдении хотя бы одного из критериев считают, что распределение результатов измерений группы не соответствует нормальному.
Таблица Б.2 — Значения для вычисления

________________
* Формула соответствует оригиналу. — Примечание изготовителя базы данных.
Таблица Б.3 — Значения

0,96	2,06	0,98	2,33
0,97	2,17	0,99	2,58

Приложение В (справочное). Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений n >50

Приложение В
(справочное)

Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений 50

В.1 При числе результатов измерений 50 для проверки критерия согласия теоретического распределения с практическим чаще всего используют критерий К Пирсона. Рекомендуемые числа интервалов в зависимости от числа результатов измерений приведены в таблице В.1. Вычисления сводят в таблицу В.2, в которой приведен алгоритм вычислений для проверки гипотезы о нормальности распределения результатов измерений. При этом группируют результаты измерений. Группирование — разделение результатов измерений от наименьшего до наибольшего на интервалов.
Таблица В.1 — Рекомендуемые числа интервалов в зависимости от числа результатов измерений

Число результатов измерений	Рекомендуемое число интервалов
40-100
100-500
500-1000
1000-10000

Таблица В.2 — Вспомогательная таблица для проверки распределения результатов измерений

Номер интервала	Середина интервала	Число результатов измерений в интервале

Ширину интервала выбирают постоянной и вычисляют по формуле

. (В.1)

В.2 Установив границы интервалов, подсчитывают число результатов измерений , попавших в каждый интервал. Далее вычисляют: середины интервалов , среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение результатов измерений . Определяют число результатов измерений , которое должно было бы находиться в интервале, если бы распределение результатов измерений было нормальным, по формуле

, (В.2)

где — плотность нормального распределения ;
— вероятность попадания результатов измерении в -й интервал.

В.3 Для каждого интервала вычисляют критерий К Пирсона . Просуммировав по всем интервалам, получают с определенным числом степеней свободы . Для нормального распределения .

В.4 Выбрав уровень значимости по таблицам распределения , находят нижнее и верхнее (значения -процентных точек для распределения приведены в таблице В.3).
Выбрав уровень значимости критерия, определяют квантили и . Квантиль , вычисленный по результатам измерений, должен находиться между и .
Таблица В.3 — Значения -процентных точек для распределения

Приложение Г (справочное). Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений n больше или равно 50, критерий «омега»_(2)

Приложение Г
(справочное)

Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений 50, критерий

Г.1 Критерий Мизеса-Смирнова использует статистику, имеющую вид

,

где — теоретическая функция распределения;
— эмпирическая функция распределения;
— весовая функция, область определения которой представляет собой область значений функции .
Конкретный вид статистики (или, точнее, ) зависит от вида весовой функции. Как правило, используют весовые функции двух видов: , при которой все значения функции распределения обладают одинаковым весом, и , при которой вес результатов измерений увеличивается на «хвостах» распределений. В приведенном критерии использована весовая функция второго вида, поскольку на практике различия между распределениями наиболее отчетливы в области крайних значений. Однако почти всегда малое число результатов измерений имеется как раз в области крайних значений. Поэтому целесообразно придать этим результатам больший вес.
Если принять весовую функцию второго вида, то статистика после выполнения интегрирования имеет вид

, (Г.1)*

где — результаты измерений, упорядоченные по значению;
— значение функции теоретического распределения при значении аргумента, равном (1, …, ).
________________
* Формула и экспликация к ней соответствуют оригиналу. — Примечание изготовителя базы данных.
Результаты измерений рекомендуется свести в таблицу, аналогичную таблице Г.1 расчетного примера применения критерия , а соответствующие им значения внести в третий столбец таблицы, аналогичной таблице Г.2 этого же примера.
Статистика подчиняется асимптотическому (при ) распределению

Значения функции распределения для 02,6 с шагом 0,01 приведены в таблице Г.3.

Г.2 Применение критерия требует выполнения большого объема вычислительных операций, но этот критерий более мощный, чем критерий Пирсона . Число результатов измерений при использовании этого критерия должно быть более 50.

Г.3 При использовании критерия вычисления проводят в следующем порядке:

Г.3.1 Вычисляют значение статистики по формуле (Г.1).
Промежуточные вычисления по формуле (Г.1) рекомендуется сводить в таблицу, аналогичную таблице Г.2 примера. После заполнения таблицы суммируют значения, внесенные в ее последний столбец. Значение величины находят, подставляя полученную сумму в формулу (Г.1).

Г.3.2 По таблице Г.3 находят значение функции распределения для , равного вычисленному значению .

Г.3.3 Задают уровень значимости . Рекомендуется выбирать значение , равное 0,1 или 0,2.

Г.3.4 Если , то гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределений отвергают, если , то гипотезу принимают.
Пример применения критерия
Пример составлен при малом количестве данных в целях иллюстрации сложного вычислительного процесса при использовании критерия .
Результаты измерений приведены в таблице Г.1.
Таблица Г.1 — Результаты измерений

Номер результата измерений	Результат измерений	Номер результата измерений	Результат измерений	Номер результата измерений	Результат измерений
1	15,61		24,14		27,88
2	20,71		24,59		28,74
3	21,68		26,18		29,34
4	22,28		26,23		30,86
5	23,22		27,59		32,08

Требуется проверить гипотезу о том, что группа результатов измерений не противоречит нормальному распределению. Среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение результатов измерений, представленных в таблице Г.1, равные соответственно 25,4087 и 4,3241, приняты в качестве параметров нормального распределения, значения функции распределения которого представлены в третьем столбце таблицы Г.2.
Результаты дальнейших вычислений также приведены в таблице Г.2.
Таблица Г.2 — Результаты промежуточных вычислений значения статистики по формуле (Г.1)

Сумма значений, приведенных в столбце 10 таблицы Г.2, равна минус 7,61478. Тогда результат вычисления по формуле (Г.1) будет . Значение функции , в соответствии с таблицей Г.3, для 0,23 равно 0,016. Это значение достаточно мало (0,016<0,8<0,9), следовательно, в соответствии с Г.4, гипотеза о том, что выборка принадлежит нормально распределенной генеральной совокупности, не может быть отвергнута.
Таблица Г.3 — Значения функции

Приложение Д (справочное). Значения коэффициентов t для для случайной величины Y, имеющей распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы

Приложение Д
(справочное)

Значения коэффициентов для случайной величины , имеющей распределение Стьюдента с степенями свободы

Таблица Д.1 — Значения коэффициентов Стьюдента

Приложение Е (обязательное). Правила округления при обработке результатов измерений

Приложение Е
(обязательное)

Е.1 Точность результатов измерений и точность вычислений при обработке результатов измерений должны быть согласованы с требуемой точностью получаемой оценки измеряемой величины.

Е.2 Погрешность оценки измеряемой величины следует выражать не более чем двумя значащими цифрами.
Две значащие цифры в погрешности оценки измеряемой величины сохраняют:
— при точных измерениях;
— если первая значащая цифра не более трех.

Е.3 Число цифр в промежуточных вычислениях при обработке результатов измерений должно быть на две больше, чем в окончательном результате.

Е.4 Погрешность при промежуточных вычислениях должна быть выражена не более чем тремя значащими цифрами.

Е.5 Сохраняемую. значащую цифру в погрешности оценки измеряемой величины при округлении увеличивают на единицу, если отбрасываемая цифра неуказываемого младшего разряда больше либо равна пяти, и не изменяют, если она меньше пяти.

Библиография

	Рекомендации по межгосударственной стандартизации РМГ 29-99*	Государственная система обеспечения единства измерений. Метрология. Основные термины и определения
* Заменены на РМГ 29-2013.
	Правила по межгосударственной стандартизации ПМГ 96-2009	Государственная система обеспечения единства измерений. Результаты и характеристики качества измерений. Формы представления

УДК 389.1:543.27.088:006.354	ОКС 17.020	Т80	ОКСТУ 0008
Ключевые слова: погрешность измерений, среднее квадратическое отклонение, неисключенная систематическая погрешность, результат измерений, оценка измеряемой величины, нормальное распределение

Электронный текст документа
подготовлен АО «Кодекс» и сверен по:
официальное издание
М.: Стандартинформ, 2019

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Раздел 1 Введение в специализацию Тема 1.1. Входной контроль Тема 1.2. Методики (методы) измерений в системе метрологического обеспечения и обеспечения единства измерений Раздел 2 Теоретические и методические основы разработки и аттестации методик (методов) измерений Тема 2.1. Последовательность решения метрологических задач при разработке и аттестации методик (методов) измерений Тема 2.2. Средства и методы измерений Тема 2.3. Погрешности измерений и их характеристики Тема 2.4. Способы оценивания характеристик погрешностей измерений Тема 2.5. Неопределенность результатов измерений Тема 2.6. Аттестация методик (методов) измерений Тема 2.7. Измерения при контроле и испытаниях продукции Раздел 3 Нормативная и организационная основы разработки и аттестации методик (методов) измерений Тема 3.1. Законодательные и нормативные документы в области методик (методов) измерений Тема 3.2. Требования к документам, регламентирующим методики (методы) измерений Тема 3.3. Организация работ по разработке, регламентации и аттестации методик (методов) измерений Тема 3.4. Особенности разработки и аттестации методик (методов) измерений количественного химического анализа Тема 3.5. Метрологическая экспертиза методик (методов) измерений Тема 3.6. Аккредитация на техническую компетентность в области аттестации методик (методов) измерений Раздел 4 Метрологический надзор за состояния методик (методов) измерений Тема 4.1. Надзор за наличием и соблюдением методик (методов) измерений Тема 4.2. Ответственность за нарушение метрологических норм и правил при использовании методик (методов) измерений